Simbolización

LÓGICA PROPOSICIONAL

CONECTIVAS VERITATIVO FUCIONALES.

El sistema lógico más simple, y que sirve de base a otros más complejos, es la lógica proposicional. También es conocida con otros nombres como lógica de enunciados o lógica de conectores. Su nombre se debe, en el caso de las primeras denominaciones citadas, a que los elementos con los que trabaja son enunciados o proposiciones (que se expresan en oraciones)¹(Notas al final del capítulo). Respecto a la expresión “lógica de conectores”, obedece al hecho de que en ella se estudian las propiedades lógicas de ciertas oraciones compuestas a partir de oraciones simples, utilizando para ello conectores.

En el lenguaje natural existen diversos tipos de conectivas, pero en lógica proposicional nos interesa un tipo en particular. Podemos explicarlo mediante un ejemplo²:

1. Juan está llorando porque se golpeó la cabeza.
2. Juan se golpeó la cabeza y está llorando.
3. Juan se golpeó la cabeza.
4. Juan está llorando.

Si sabemos que (III) y (IV) son oraciones verdaderas, también sabemos, sin necesidad de mayores indagaciones, que (II) es verdadera. Algo muy distinto de lo que sucede con la oración (I). No basta, en tal caso, con establecer la verdad de (III) y (IV), también debemos establecer que es precisamente el hecho de haber sido golpeado en la cabeza lo que hace llorar a Juan. Imaginemos una situación hipotética: mientras Juan lloraba porque su novia lo había abandonado, y caminaba descuidadamente, golpeó su cabeza contra la parada del colectivo. Para el caso que contemplamos, las oraciones (III) y (IV) serán verdaderas y, por lo tanto, también la (II). Pero la (I) será falsa porque Juan no llora por el golpe, sino por que su novia lo ha abandonado. Ahora bien, si efectivamente Juan está llorando por un golpe que se ha dado en la cabeza entonces las cuatro oraciones serán verdaderas.

Aquí queremos remarcar una diferencia importantísima. Partimos de las oraciones (III) y (IV), que enuncian dos hechos: a) el hecho de Juan golpeándose la cabeza y; (b) el hecho de Juan llorando. Las oraciones (I) y (II) afirman la verdad de ambos hechos. Pero la oración (I) nos dice algo más: que lo afirmado en (IV) es consecuencia de lo que se afirma en (III). Es decir, que Juan llora debido al golpe recibido (y por ello es falsa en el ejemplo hipotético dado más arriba). Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente: la verdad (o falsedad) de las oraciones componentes (III) y (IV) es suficiente para determinar la verdad (o falsedad) de la oración (II), pero no para determinar la de (I). Podemos generalizar nuestra conclusión de la siguiente manera:

(Ia) (oración 1) porque (oración 2).

(IIa) (oración 1) y (oración 2).

Cuando usamos la conectiva “y”, como en (IIa), es suficiente conocer la verdad (o falsedad) de las oraciones que relaciona³ para conocer la verdad (o falsedad) de la oración así compuesta, pero no basta para determinarlo cuando utilizamos “porque”, como en (Ia). Para saber si una oración compuesta mediante “porque” es verdadera (o falsa) necesitaremos, además, de otro tipo de información⁴.

Las conectivas que nos interesa estudiar en lógica proposicional tienen las mismas propiedades que “y”. Para todas ellas vale el siguiente principio: determinando la verdad o falsedad de las oraciones que la componen se determina unívocamente la verdad o falsedad de la oración compuesta. A tales conectivas se las denomina funcional veritativas o veritativo funcionales, en virtud de que sirven para formar oraciones compuestas cuya verdad (o falsedad) es una función de la verdad (o falsedad) de sus componentes. A continuación estudiaremos las conectivas más importantes de la lógica proposicional.

NEGACIÓN

La lógica clásica presupone que toda oración⁵ ha de ser verdadera o falsa sin que quepa otra posibilidad. Es lo que se conoce como principio de bivalencia⁶. Toda oración posee uno de estos dos valores de verdad (a saber: verdadero o falso). La primera conectiva que estudiaremos invierte dicho valor de verdad. En el lenguaje natural se presenta de distintas formas, pero todas tienen un denominador común: negar una determinada afirmación. Se denomina, de acuerdo con esto, negación. Si una oración enuncia algo verdadero, su negación enuncia algo falso. Y simétricamente si enuncia algo falso, su negación resulta verdadera. Por ejemplo, la oración “Hoy no está lloviendo”, puede considerarse como compuesta de dos elementos: a) una oración más primitiva: “Hoy está lloviendo”; y b) la afirmación de que dicha oración es falsa, lo cual se expresa mediante la palabra “no”. En una notación menos natural, pero más precisa desde el punto de vista lógico podríamos representar la afirmación de la siguiente manera:

No(Hoy está lloviendo)

Con lo que queremos significar que hemos aplicado la operación de negación a la oración que se encuentra entre paréntesis.

Ahora veamos como opera la negación. Si, prolongando el ejemplo, el día de hoy está lluvioso, la afirmación “Hoy esta lloviendo” es verdadera y, en consecuencia, su negación será falsa. Pero si no llueve tendremos una falsedad, y su negación será verdadera. Esto podemos representarlo de la siguiente manera, ganando generalidad:

	α	¬α
I0	0	1
I1	1	0

Donde α es una oración cualquiera y ¬α su negación. En cada fila vemos una posible Interpretación de la oración dada (Verdadera=1; Falsa=0), y en la siguiente columna el resultado de aplicar la negación a cada valor. En concreto, la primera interpretación (I₀) asigna valor falso (0) a la oración α, y el valor verdadero (1) a su negación. El cuadro presentado es denominado tabla de verdad. En ella se explicita la forma en que los valores de verdad de una oración compuesta depende de los valores que asumen sus oraciones componentes. Mas adelante veremos los principios que rigen la construcción de tablas de verdad. Pero, antes de analizar la siguiente conectiva, conviene notar que la negación es la única que se aplica a una sola oración (simple o compuesta), a diferencia de las restantes, que afectan a dos oraciones. Por ello la primera es una conectiva unaria en tanto que las otras son binarias.

En el lenguaje natural la negación puede ser indicada por expresiones como las siguientes “No ocurre que ...”, “No es el caso que ...”, “Es falso que ...”, “No ...”. Pero no siempre la formulación es específica. Algunos ejemplos de oraciones y su negación son las siguientes:

¬α	α
Los potros son indomables.	Los potros son domables.
Juan no está ni en su casa ni en la escuela.	Juan está o bien en su casa o bien en la escuela.
No hay nadie en casa.	Alguien está en casa.
Juan nunca está en su casa.	Juan a veces está en su casa.
Juan aún no llegó a su casa.	Juan ya llegó a su casa.
Juan no ha estado nunca en su casa.	Juan ha estado en alguna ocasión en su casa.

CONJUNCIÓN

De nuestra siguiente conectiva ya hemos tenido un sondeo previo. En la oración (II) se afirmaba que Juan se había golpeado la cabeza y que, además, estaba llorando. Dijimos que tal oración era verdadera cuando también lo eran las oraciones (III) y (IV). Por lo tanto, la expresión “y”, en el lenguaje natural, tiene por función afirmar la verdad de las dos oraciones que relaciona. Es decir, afirma conjuntamente a ambas. De ahí que en lógica proposicional a dicha operación se la denomine conjunción, y se la represente interponiendo el símbolo “” entre las letras de enunciado. La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

	α	β	α β
I0	0	0	0
I1	0	1	0
I2	1	0	0
I3	1	1	1

Como se ve, los posibles valores de verdad que pueden tener ambas oraciones son: ambas falsas (I₀); falsa la primera y verdadera la segunda (I₁); verdadera la primera y falsa la segunda (I₂); ambas verdaderas (I₃). El último es el único caso en que la oración compuesta es verdadera.

Al igual que sucede con la negación, existen distintos tipos de expresiones del lenguaje natural que sirven para expresar conjunción. Veamos, por ejemplo, el siguiente cuadro donde la primera columna es la conjunción, y las otras dos contienen las oraciones que la componen:

CONJUNCIÓN	PRIMERA ORACIÓN	SEGUNDA ORACIÓN
La U.N.Sa. y la Católica están al norte de la ciudad.	La U.N.Sa. está al norte de la ciudad.	La Católica está al norte de la ciudad.
Juan y Pedro están casados. con Ana y Beatriz respectivamente.	Juan está casado con Ana.	Pedro esta casado con Beatriz.
Tanto los liberales como los socialistas apoyaron la moción.	Los liberales apoyaron la moción.	Los socialistas apoyaron la moción.
Juan está en su casa pero está dormido.	Juan está en su casa.	Juan está dormido.
Juan está en su casa pero Pedro no lo está.	Juan está en su casa.	Pedro no está en su casa.
Si bien hacía mucho frío, Juan no se quedó adentro.	Hacía mucho frío.	Juan no se quedó adentro.
A pesar de que afuera estaba hermoso, Juan se quedó adentro.	Afuera estaba hermoso.	Juan se quedó adentro.

Hemos resaltado con bastardilla en la primera columna las expresiones usadas para expresar la conjunción (nótese que hemos resaltado las comas, que, en general indican conjunción). Ciertamente puede haber otras y la interpretación adecuada muchas veces depende del contexto.

DISYUNCIÓN

Otra conectiva muy usual es la disyunción, que representamos mediante la expresión “­”. Esta operación establece que al menos una de las dos oraciones que relaciona es verdadera. Pero existe otra interpretación según la cual la oración compuesta únicamente es verdadera cuando también lo es sólo una de sus componentes. Nosotros adoptaremos convencionalmente como disyunción a la primera interpretación, y reservaremos el nombre de disyunción excluyente para la segunda. Veamos sus tablas de verdad:

	α	β	αβ	α ó β (excluyente)
I0	0	0	0	0
I1	0	1	1	1
I2	1	0	1	1
I3	1	1	1	0

CONDICIONAL

Fundamental en lógica es el estudio de la operación que se conoce bajo el nombre de condicional, y que simbolizamos con “”. En el lenguaje natural suele presentarse de la siguiente forma: “si (oración 1), entonces (oración 2)”. La primera oración suele denominarse antecedente, mientras que la segunda se denomina consecuente. Lo que un condicional⁷ afirma es que, para un antecedente verdadero también debe ser verdadero el consecuente, caso contrario la oración compuesta será falsa. Si el antecedente es falso, en cambio, no importa el valor de verdad del consecuente y el condicional es verdadero. Expresado mediante tablas de verdad obtenemos:

	α	β	αβ
I0	1	1	1
I1	1	0	0
I2	0	1	1
I3	0	0	1

Otras variantes estilísticas del condicional son: “(consecuente) si (antecedente)”, “Sólo si (antecedente), (consecuente)”, “(antecedente) es suficiente (para) (consecuente)”, “(consecuente) es necesario (para) (antecedente)”, “(antecedente), por lo tanto (consecuente)”, “(antecedente), luego (consecuente)”. En los dos últimos ejemplos se hace patente la estrecha conexión, que luego profundizaremos, entre el condicional y la operación de deducir una consecuencia a partir de ciertas premisas. Todo razonamiento puede expresarse en la forma de un condicional, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas, y cuyo consecuente es la conclusión. Esquemáticamente:

Si [(premisa₁), (premisa₂),..., (premisa_n)] entonces (conclusión).

BICONDICIONAL

Por último, introduciremos el bicondicional. La mencionada operación vincula dos oraciones, y la compuesta es verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Es decir, sólo es verdadera cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad. Suele presentarse de la siguiente forma: “(oración 1) si, y sólo si (oración 2)”. Lo representamos con el símbolo “”. Otra forma de abreviar la expresión “si, y solo si”, muy usada en matemáticas, es: “sii”. Su tabla de verdad es la siguiente.

	α	β	αβ
I0	0	0	1
I1	0	1	0
I2	1	0	0
I3	1	1	1

Notas:

1. Las nociones de oración, enunciado, y proposición presentan matices que es necesario distinguir. Estas cuestiones son discutidas en filosofía de la lógica. Hecha la aclaración, puede ocurrir que aquí las utilicemos como sinónimos.

2. El ejemplo puede encontrarse en Gamut (2002).

3. Es decir las oraciones que representamos con “oración 1” y “oración 2”.

4. Por ejemplo: saber si hay una relación causal entre los hechos enunciados en las oraciones 1 y 2. En nuestra ilustración, deberíamos saber si efectivamente el golpe recibido produjo el llanto de Juan. Mientras ésta información es relevante para conocer la verdad de la oración (I), no tiene ninguna importancia a la hora de establecer la verdad de (II).

5. Salvo que especifiquemos otra cosa, cuando hablamos de oración debemos entender que hablamos de oraciones declarativas.

6. Existen sistemas lógicos que prescinden de dicho principio. Forman partes de las lógicas no-clásicas.

7. Interpretamos aquí, desde un punto de vista lógico, al condicional como condicional material. Existen otras formas de interpretación de las cuales prescindiremos aquí. Cabe observar, sin embargo, que ya desde el tiempo de los estoicos se presentaron muchas polémicas acerca de la forma adecuada de entender el condicional.